ICM(Independent Chip Model)

ICMとは「Independent Chip Model」の略で、トーナメントでの各プレイヤーの賞金期待値を計算するシステムのことです。

まず大前提として、以下の法則を頭にいれておいてください。

「ポーカーのトーナメントで優勝する確率はチップ量と比例する」

という法則です。これは数学的にも証明されているもので、例えば3人で行われているトーナメントで、チップ量が

  • A:2000ドル
  • B:3000ドル
  • C:5000ドル

総チップ量は10000ドルです。10000ドルのうち、各プレイヤーの持つスタックの割合は

  • A:20%
  • B:30%
  • C:50%

これが優勝する確率となります。計算は単純で、総チップ量のうち、自分が持つチップの占める割合がそのまま優勝する確率となります。

もちろんスキルの差などで、実際の確率は変動すると思いますが、全プレイヤーが同等のスキルを持つと仮定した場合、上記のような数値になります。

そして、優勝賞金が100ドルとした場合、Aは20%の優勝確率がありますから、現状Aの持つ2000ドルのスタックは20ドルの賞金期待値があることになります。

ダブルアップすれば優勝する勝率も単純に倍になり、賞金期待値も倍になります。つまりオッズに合うオールインは、そのまま賞金期待値的にも合理的となります。

この状況では優勝しか意味がないので、誰かが飛んで2位以上が確定するのを待つ意味はありません。

例えばAが全てのハンドをフォールドしてヘッズアップ(2位確定)になるまで我慢したとしても、その時の相手とのチップ量の比は2000ドル:8000ドルになっており(実際にはブラインドによるチップの減少からAはもっと少なくなっています)、優勝する確率は20%からまったく変わっていません。つまり賞金期待値もまったく変わりません。よって、いわゆるバブルライン特有の状況は無く、単純にオッズや勝率だけで毎ハンドをプレイしてもなんら問題ありません。

ICMは複数人のトーナメントで、かつ2位以下にも賞金が発生する場合に意味が出てきます。

ではチップ量は

  • A:2000ドル
  • B:3000ドル
  • C:5000ドル

とさきほどと同じで、1位100ドル、2位50ドル、3位は賞金無しのトーナメントで考えてみます。

優勝する(100ドル手に入れる)確率は、上でも述べましたがチップ量に比例します。つまりAは20%の確率で優勝するため、100ドル(1位賞金)×20%=20ドルが優勝賞金の期待値になります。これは上でも書いた通りです。

この計算の方法だと、3人のプレイヤーの優勝賞金の期待値は

  • A:20ドル
  • B:30ドル
  • C:50ドル

となります。しかし2位にも賞金が発生するため、全賞金期待値は、優勝だけを考えたものにはなりません。各プレイヤーの2位になる確率がでれば、2位の賞金に対する期待値も計算できます。

Aが2位になる確率は、A以外が優勝した場合にわけて考えます。

例えばBが優勝した場合(30%の確率で起こります)に、Aが2位になる確率は、優勝確率と同じように残りのACの中でのチップ量の比によって、ACそれぞれの2位になる確率が出ます。

つまりBが優勝した場合、Aが2位になる確率はACの総チップ量のうちの20ドルの占める割合になりますから、

Bが優勝する確率:30%
ACの総チップ量:20+50=70ドル
Aの占めるチップ割合:20÷70=0.287=28.7%

よって、Bが優勝し、Aが2位になる確率は

30%×28.7%=8.6%

となります。また、Cが優勝し、Aが2位になる確率も同様の計算で

Cが優勝する確率:50%
ABの総チップ量:20+30=50ドル
Aの占めるチップ割合:20÷50=0.4=40%

よって、Cが優勝し、Aが2位になる確率は

50%×40%=20%

となります。このことから、8.6%+20%=28.6%というのが、Aが2位になる確率となります。

ここまででAが優勝する確率は20%、2位になる確率は28.6%、という結果が出ましたから、Aが3位になる確率は、残りの51.4%となります。一番スタックが少ないので、妥当なパーセンテージですね。

これでAが全ての順位になる確率がでましたから、各賞金金額から賞金期待値を計算します。

  • 優勝賞金(100ドル)×優勝する確率(20%)=20ドル
  • 2位賞金(50ドル)×2位になる確率(28.6%)=14.3ドル
  • 3位賞金(0ドル)×3位になる確率(51.4%)=0ドル

これらの賞金期待値を合計すると、Aの20ドルというスタックが持つ賞金期待値は34.3ドルであることがわかります。同じ計算方法でB、Cの賞金期待値も出すと

  • A:34.3ドル
  • B:48.6ドル
  • C:67.1ドル

となります。全て合計すると、賞金総額の150ドルになっています。これがICMによる賞金期待値の計算方法です。

参加人数、インマネーの枠の数が増えても基本的に計算の仕方は同じですが、当然のことながら暗算はできません。しかしWEBにそれを計算してくれるページがありますので、そちらを使ってみてください。

http://www.icmpoker.com/ (Online ICM Applicatorをクリック)

iphoneアプリにもICMの計算ソフトがあります。「poker icm」で検索してみてください。(有料です)

上記の計算ページでこの記事と同じ数値の、各プレイヤーのチップ量(左の縦の列)、賞金額(上の行)を入れて計算してみてください。同じ結果が出ます。

ではICMを知ることで、判断が変わる状況を例にしてみます。

スタック、状況は上に書いたものと同じです。よって

  • A:スタック2000ドル(賞金期待値34.3ドル)
  • B:スタック3000ドル(賞金期待値48.6ドル)
  • C:スタック5000ドル(賞金期待値67.1ドル)

となります。

Cがボタンでオールイン→SBのBがコール→BBのAはハンドを見てみるとAKoでした。

ここでAの判断はコール(オールイン)かフォールドかの2択となります。

「よっしゃAKキター!2人まとめてぶっ倒してやんよ!」とコールするのは少し待ってください。

ICMの観点からコールが正しいのか、フォールドが正しいのか見てみましょう。

まずフォールドした場合のICM結果です。

Cが勝利した場合の賞金期待値

  • A:スタック2000ドル(賞金期待値60ドル
  • B:スタック0ドル(賞金期待値0ドル
  • C:スタック8000ドル(賞金期待値90ドル

Bが勝利した場合

  • A:スタック2000ドル(賞金期待値37.5ドル
  • B:スタック6000ドル(賞金期待値75ドル
  • C:スタック2000ドル(賞金期待値37.5ドル

となります。なんとAはフォールドするだけで賞金期待値が上がっているのがわかります。BとCの勝敗が五分五分だとした場合、平均して48.74ドルの賞金期待値にアップすることがわかります。

ではAがコール(オールイン)した場合のICM結果です。

Aが勝利(セカンドポットはBが得る場合)

  • A:スタック6000ドル(賞金期待値75ドル
  • B:スタック2000ドル(賞金期待値37.5ドル
  • C:スタック2000ドル(賞金期待値37.5ドル

Aが勝利(セカンドポットはCが得る場合)

  • A:スタック6000ドル(賞金期待値80ドル
  • B:スタック0ドル(賞金期待値0ドル
  • C:スタック4000ドル(賞金期待値70ドル

Bが勝利

  • A:スタック0ドル(賞金期待値0ドル
  • B:スタック8000ドル(賞金期待値90ドル
  • C:スタック2000ドル(賞金期待値60ドル

Cが勝利

  • A:スタック0ドル(賞金期待値0ドル
  • B:スタック0ドル(賞金期待値0ドル
  • C:スタック100000ドル(賞金期待値150ドル

当然のことですが、Aは負ければ飛ぶことになり、賞金期待値は0ドルになります。それぞれ場合に分けて書くと

  • フォールドした場合:賞金期待値は平均48.74ドルになる
  • コールして勝った場合:賞金期待値は平均77.5ドルになる
  • コールして負けた場合:賞金期待値は0ドルになる

ということがわかります。

ではフォールドして平均48.74ドルの賞金期待値にアップするのを捨ててでも勝って平均77.5ドルにアップさせるのを狙うためにコールすべき、と言えるのは勝率がどれくらいある場合でしょうか。必要な勝率は以下の式で導き出せます。

77.5ドル(勝った場合の期待値) × 勝率 > 48.74ドル(フォールドした場合の期待値)

この式から、勝率が62.8%以上なのであれば、コールしても合理的になることがわかります。

2名のプレイヤーに対して62.8%以上の勝率があるのは、スターティングハンドの勝率表で見るとAA、KK、QQだけです(JJは微妙なライン)。ただしこれは相手をランダムハンドとした場合なので、オールインにコールが入っているような、プレミアハンドが存在しそうな状況の場合、実質62.8%以上の勝率があるのはAAだけでしょう。

よって、AKoはICM的にはフォールドが正解となります。

AKoはランダムハンド2名に対して勝率48.2%ありますから、ショートスタックであれば飛び込んで当然!と考える人が多いかもしれませんが、ICMで見れば損をしていることになります。

さて、ICMにより賞金期待値の計算方法を書いてきましたが、上記の例だとわかりにくいのでより顕著な例を下に記載します。

上位3名がファイナルシートに進出できるサテライトトーナメントで、現在残り4名でバブルラインの状況、それぞれのスタック

  • A:5000ドル
  • あなた:4000ドル
  • C:1000ドル
  • D:500ドル

わかりやすいようにファイナルシートの権利を賞金100ドルとします。

Cフォールド→Dフォールド→SBのチップリAがオールイン→あなたはハンドを見るとAAでした。さてコールすべきかフォールドすべきか、どちらでしょうか?

あなたの現状での賞金期待値は96.6ドルです。飛ぶ寸前のDがいるため、インマネはほぼ確実なので、かなり100ドルに近い数値です。(数値を確かめる場合はこちらから)

ではあなたが勝った場合ですが、あなたの賞金期待値は99.7ドルになります。

ほぼ変わっていないのがわかります。

必要な勝率は

99.7ドル × 勝率 > 96.6ドル

の式から、96.8%以上の勝率が必要になります。ヘッズアップで96.8%以上の勝率があるハンドは存在しません。AAでもランダムハンド相手だと85.3%ですし、相手が自分と同じスーツの27でも88.7%です。よって、ICM的にはAAでもフォールドが正解です。

このような状況でAAで飛び込んでいた人は、損してきたと考えてください。

逆に「待っていればインマネ確定なのにわざわざ飛ぶリスクを負う必要がない、たとえAAでも!」という感覚でフォールドしてきた人は、その感覚を裏付けるデータとなります。素晴らしい感覚です。

ではスタック

  • A:5000ドル
  • B:4000ドル
  • あなた:1000ドル
  • D:500ドル

の状況で、Dフォールド→Aオールイン→Bフォールド→あなたはハンドを見るとAAでした。

この場合、現状あなたの賞金期待値は69.3ドル、勝った場合84.2ドルになります。必要な勝率は

84.2ドル × 勝率 > 69.3ドル

となり、82%以上の勝率があればコールできます。AAであればコールはICM的に見てもぎりぎり合理的となります。

では

  • A:5000ドル
  • B:4000ドル
  • C:1000ドル
  • あなた:500ドル

の状況で、Aオールイン→Bフォールド→Cフォールド→あなたはハンドを見るとAAでした。

この場合、現状あなたの賞金期待値は36.2ドルで、勝った場合55.1ドルになります。必要な勝率は

55.1ドル × 勝率 > 36.2ドル

となり65.6%以上の勝率があればコールできますから、スターティングハンドの勝率表から見れば、AA~77、AKs、AQsでコールすることができます。ただし相手はオールインしていますから、相手のハンドをポケットかAJ+と推測するのであれば、AA~QQ、AKs、まででコールするのが妥当だと思います。よって、AAが来た場合、余裕のコールです。

最後の例です。

  • A:5000ドル
  • B:4000ドル
  • C:1000ドル
  • あなた:500ドル

の状況で、Aオールイン→Bフォールド→Cコール(オールイン)→あなたはハンドを見るとAAでした。

この場合、現状あなたの賞金期待値は36.2ドルで、

  • あなたがフォールドしてAが勝った場合:あなたの賞金期待値は100ドルに
  • あなたがフォールドしてCが勝った場合:あなたの賞金期待値は25.7ドルに
  • あなたが勝ってセカンドはC:あなたの賞金期待値は66.9ドルに
  • あながた勝ってセカンドはA:あなたの賞金期待値は100ドルに
  • あなたが負けた場合:0ドルに

となります。あなたがフォールドした場合も勝った場合も、AとCの勝敗によって、賞金期待値は大きな差がでます。AとCの勝敗は五分五分だとすると

  • フォールドすればあなたの賞金期待値は62.9ドルに
  • コールしてあなたが勝てば賞金期待値は83.5ドルに
  • コールしてあなたが負ければ賞金期待値は0ドルに

となるので

83.5ドル × 勝率 > 62.9ドル

の式から、必要な勝率は75.3%以上となります。AAはランダムハンド2名相手だと勝率73.4%ですから、かなり微妙なラインとなります。

このように、同じAAでも状況によって合理的な判断というのは別れます。特に実際の勝率とICMからみた必要な勝率が大きく違う場合に、ICMの意味があります。

肌感覚としては、

「バブルラインの状況でチップに余裕がある(平均スタックよりも多い)場合は、圧倒的な勝率(80%以上、つまりAA)がある場合でないと飛ぶリスクを負うようなオールインすべきではない。」

と言えることになります。逆にこれを利用し、

「バブルラインでミドルスタック相手にオールインを要求するようなアグレッシブなプレイをすれば、相手は降りざるを得ない」

というプレイも可能です。ビッグスタックだけが取り得る最大のプレッシャーを相手にかけます。

—————–

ここまでICMについて解説してきましたが、プレイ中にもちろんこのような計算は瞬時にできませんから、ある程度以下の計算機などを使って状況を想定しておき、必要な勝率を肌感覚で身につけておくのがよいと思います。

http://www.icmpoker.com/ (Online ICM Applicatorをクリック)

また、ICMは、以下のような条件の場合でしかあまり意味がありません。

  • 賞金が2位以下にも発生するトーナメントである
  • バブルライン(もしくはそれに近い状況)である
  • オールインにコールする状況である

さらに、トーナメントで、勝負が中々つかない、時間がかかりすぎている、などの状況の場合に、賞金を残ったプレイヤーでディール(分配)する方法としてICMを使う場合があります。

たとえば3人が残っており、チップはA7000ドル、B2000ドル、C1000ドル、賞金は1位100ドル、2位50ドル、3位0ドルだとします。もう夜中の3時なのでディールしよう、という声があがり、プレイヤー全員が同意したとします。

ここで昔ながらの賞金総額をチップの比率で分配する方式だと

賞金総額は150ドルで、チップ比はそれぞれ

  • A:70%
  • B:20%
  • C:10%

となりますから

  • Aの分配金:150ドル×70%=105ドル
  • Bの分配金:150ドル×20%=30ドル
  • Cの分配金:150ドル×10%=10ドル

となります。なんとAは優勝賞金よりも多くもらえることになるのです。これをICMの賞金期待値で計算すると

  • Aの分配金:83ドル
  • Bの分配金:44ドル
  • Cの分配金:23ドル

となり、期待値上の各プレイヤーの賞金額がうまく計算できます。

よってチップリーダーは「チップ比率で分配しよーぜ!」と言い、ショートスタックは「ICM使えよ!(このカス野郎)」となるわけです。

最近ではICMの考え方は広まっていますから、トーナメントディレクターは誰からも文句が出にくいICMを使うのがよいと思われます。

参考サイト:吠太郎:トーナメントにおけるチップの価値
http://www12.plala.or.jp/doubledown/poker/icm.htm
この記事で述べてきたことを数式も交えて深く深く考察しています。
なぜチップの量が勝率と比例するのか?など詳しく知りたい方は必読です。
完全に理解するのはかなり労力が必要ですから、覚悟して訪問してくださいw

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この記事には2件のコメントがあります

  1. しょうた

    on 2014年11月9日 at 3:47 AM - 返信


    おすすめポーカー本でも紹介されている
    リー・ネルソン、タイセン・ストライプ、スティーブ・ヘストン『アグレッシブポーカー――トーナメントを制覇しろ』(パンローリング株式会社、2013年2月2日)を読んでいて

    上位5名がより大きなトーナメントの出場権を獲得するサテライトトーナメントについて考えてみよう。6人がトーナメントに残っているとする。あなたはチップリーダーで、ポジションはカットオフで、各人のスタックは次のとおり。
                チップ
    プレイヤーA    3,000
    プレイヤーB 4,000
    あなた 16,000
    ボタン 12,750
    スモールブラインド 6,500
    ビッグブラインド 7,750

    ブラインドは200-400でポケットエースが来たとする。プレイヤーAとBはフォールドであなたは1,200にレイズ(このプレイはすぐ分かるように誤りではあるが)。ボタンがオールインしてブラインドがフォールド。この場合ポケットエースでコールできるだろうか?
    この問いに答えるには、フォールドした場合、オールインに勝った場合、オールインに負けた場合の期待値を計算する必要がある。ICMに夜とフォールドした場合14,800のチップが残るので、97.5%シートを獲得する確率がある。コールしてポケットエースで勝った場合、トーナメントは終了し、シートを獲得する確率は100%となる。コールして負けた場合には、チップ量は3,250に落ちシートを獲得する確率は71%となる。このことから、91%以上の確率で勝てない場合には、収支均衡とならないことがわかる!
    (97.5%-71%)÷(100%-71%)=91.4%

    という記述があるのですが最後の計算がよく理解できませんでした。なぜこのような式になるのか教えてください。
    記事には直接関係ないのですがICMやバブルファクターについて勉強している中で、どうしてもここで止まってしまったので質問させていただきました。

    • 鮫肌

      on 2014年11月13日 at 10:29 AM - 返信


      コメントありがとうございます。
      今回のご質問、私もどう回答すべきか悩んでしまいましたので、友人にアドバイスいただきました。以下回答です。

      例えば自分が今90$持っているとして、勝てば100$に(+10$)、負ければ20$になる(−70$)ギャンブルがあったとします。
      このギャンブルは7勝1敗でチャラ(イーブン)になるので8回のうち7回勝たなければならず、勝率は7÷8=87.5%以上が必要になります。
      これを式に表すと
      (90−20)÷(100−20)=0.875=87.5%
      ということになります。

      同様に97.5$持っているとして、勝てば100$に(+2.5$)、負ければ71$になる(−26.5$)ギャンブルがあったとして、このギャンブルでは
      (97.5−71)÷(100−71)=約91.4%
      の勝率が必要ということになります。

      ところで今この例では、ICMによって97.5%の確率でシートを獲得することができます。
      もしポケットエースでコールして、オールインに勝った場合は100%の確率でシートを獲得し、もし負ければ71%の確率でシートを獲得できます。
      なのでコールに必要な勝率は
      (97.5−71)÷(100−71)=約91.4%
      と計算されます。

      以上です。
      今回アドバイスもらったのはポーカーの友人で算数の塾講師をしているくどうちゃんという友人です。
      こんなに真剣にポーカーの勉強をされている方とぜひお知り合いになれればとのことでした。
      もししょうたさんがよろしければ、ツイッター「@dkdm_Door」をフォローしていただいてお知り合いになりたいとのことです。

      これからもポーカー道をよろしくお願いします!

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